高中数学正弦定理

[高中数学说课稿《正弦定理》]大家好，今天我向大家说课的题目是《正弦定理》。下面我将从以下几个方面介绍我这堂课的教学设计。一、教材分析本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习...+阅读

第二题答案有所舛误、应为直角三角形。

具体答案如下：

a^2+b^2+c^2=8R^2 由：a/sinA=b/sinB=C/sinC=2R得： a^2/4R²+b^2/4R²+c^2/4R²=2 sin²A+sin²B+sin²C=2 sin²A+sin²B+sin²（A+B）=2 (1-2cos2A)/2 +(1-2cos2B)/2 +sin²（A+B）=2 1-(cos2A+cos2B)+sin²（A+B）=2 1- 2cos(A+B)cos(A-B)+ 1-cos²（A+B）=2 cos(A+B)[2cos(A-B)+cos(A+B)]=0 2cos(A-B)+cos(A+B)>0 故： cos(A+B)=0得到：A+B=90°，直角三角形

另外、和差化积、积化和差公式不需要掌握、新课标已经删去、不要记忆、因此只要掌握牢固书上的式子即可。

正弦定理的知识讲义

正弦定理 Sine theorem

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍)

这一定理对于任意三角形ABC，都有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

R为三角形外接圆半径 [编辑本段]证明步骤1.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:

如图，任意三角形ABC，作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.

连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。 [编辑本段]意义正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，又由正弦函数在区间上的单

调性可知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。 [编辑本段]扩展一.三角形面积公式：

1.海伦公式：

设P=1/2(a+b+c)

S△=根号下P(P-a)(P-b)(P-c)

解释：假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p为半周长：

p=(a+b+c)/2

2. S△ABC=ab·sinC/2=bc·sinA/2=ac·sinB/2=abc/(4R)[R为外接圆半径]

3.S△ABC=ah/2

二. 正弦定理的变形公式

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;

(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;

（条件同上）

在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解似的唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题

(3)相关结论：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=a+b/sinA+sinB=a+b+c/sinA+sinB+sinC