用三角形的面积桥求锐角三角函数值

[充分利用三角形面积巧解题]补形法是解几何题常用的重要方法之一。所谓补形，就是根据题目的条件和图形，经过观察、分析和联想，运用添加辅助线的方法，使之转化为熟悉的基本图形，从而可沟通条件和结论之间的联...+阅读

一、利用三角形的面积桥求锐角三角函数值

例1 如图1，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，求EAF的正切值。

图1

解：连结EF，作FGAE，垂足为G

设正方形的边长为2，则BE=CE=CF=FD=1

由在中，由勾股定理，得

在△AEF中，

易证：△ABE≌△ADF，AF=AE=

在Rt△AFG中

评注：本例考查了勾股定理、全等三角形等知识，要求锐角三角函数值必须在直角三角形进行，通过添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，为解决问题创造了有利条件，使所求问题化归为利用三角形面积桥来解决。

例2 如图2，AB是圆O的直径，CDAB于P，若BP=2，CD=12，求cosCAD的值。

图2

解：∵AB是圆O的直径，ABCD

点P是弦CD的中点

PD=PC=6

由相交弦定理，得

PAPB=PDPC=PD2

在中，由勾股定理，得易证：

过点D作DEAC，垂足为E

在中，

评注：本例考查了圆中的相交弦定理、垂径定理，还考查了勾股定理、全等三角形等知识，通过添加辅助线，构造直角三角形，利用三角形面积桥的特殊条件，提高了解题效率与为解决某些问题搭起了平台作用。

二、利用三角形的面积桥求点到直线的距离

例3 如图3，已知圆与圆外切于点C，AB是两圆的外公切线，A、B是切点，点A在圆上，点B在圆上。若AC、BC是关于x的方程的两个实数根，△ABC的周长为30，求点C到直线AB的距离。

图3

解：过点C作两圆的公切线交AB于点P，则AP=PC=PB

，即

△ABC是直角三角形。

设BC=a，AC=b，AB=c，根据题意及根与系数的关系，得

将①代入③，得④

根据勾股定理，得

⑤

将①、②、④代入⑤，得

，

经整理，得

，解得又都能使原方程有实根。当时代入④，得，不合题意，舍去。当时，代入④，得当时，代入②，得

设点C到直线AB的距离为h

评注：本例由两圆外切来判断三角形的形状，将方程中的根与系数的关系和判别式，以及勾股定理，配方法、方程等知识点串联在一起，综合性较强，所考查的知识点颇多，涉及面广，拓宽了对相关知识点的考查;同时合理构建方程组模型，利用方程的知识和三角形的面积桥是解决问题的关键;利用整体求值法，避免了求边长，提高了解题速度，有利于培养学生将所学过的掌握的相关知识转化为解决实际问题的能力，核心是应用能力，本例形成了较好的考查知识链。

三、利用三角形的面积桥求三角形的内切圆面积

例4 在△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6，求△ABC的内切圆面积。

解：如图4所示，过点A作ADBC，设BD=x，CD=y，则

图4

① 在和中，由勾股定理，得② 解①，②，得

设△ABC的内切圆半径为r，因为三角形的内切圆圆心到三边的距离相等。

的内切圆面积为(面积单位)。

评注：本例充分利用方程知识和三角形的面积桥，使所求问题无从下手，到柳暗花明，使所求问题迎刃而解。

四、利用三角形的面积桥解决其他问题

例5 在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，点P为BC边上的任一点(不与B、C重合)，PEAB，PFAC，E、F为垂足，求3PE+4PF的值。

解：如图5过点B作BDAC，垂足为D

图5