证明三角形全等的一般思路

[充分利用三角形面积巧解题]补形法是解几何题常用的重要方法之一。所谓补形，就是根据题目的条件和图形，经过观察、分析和联想，运用添加辅助线的方法，使之转化为熟悉的基本图形，从而可沟通条件和结论之间的联...+阅读

一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等(SAS)或第三边相等(SSS)。

例1. 如图1，已知：AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60，且B、C、D在同一条直线上。

求证：AD=BE

分析：要证AD=BE

注意到AD是△ABD或△ACD的边，BE是△DEB或△BCE的边，只需证明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE，显然△ABD和△DEB不全等，而在△ACD和△BCE中，AC=BC，CD=CE，故只需证它们的夹角ACD=BCE即可。

而ACD=ACE+60，BCE=ACE+60

故△ACD≌△BCE(SAS)

二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等(ASA)或找任一等角的对边对应相等(AAS)

例2. 如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC=BD，AM∥CN，BM∥DN。

求证：AM=CN

分析：要证AM=CN

只要证△ABM≌△CDN，在这两个三角形中，由于AM∥CN，BM∥DN，可得

A=NCD，ABM=D

可见有两角对应相等，故只需证其夹边相等即可。

又由于AC=BD，而故AB=CD

故△ABM≌△CDN(ASA)

三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等(AAS，ASA)或找夹等角的另一边对应相等(SAS)

例3. 如图3，已知：CAB=DBA，AC=BD，AC交BD于点O。

求证：△CAB≌DBA

分析：要证△CAB≌△DBA

在这两个三角形中，有一角对应相等(CAB=DBA)

一边对应相等(AC=BD)

故可找夹等角的边(AB、BA)对应相等即可(利用SAS)。

四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等

例4. 如图4，已知AB=AC，AD=AG，AEBG交BG的延长线于E，AFCD交CD的延长线于F。

求证：AE=AF

分析：要证AE=AF

只需证Rt△AEB≌Rt△AFC，在这两个直角三角形中，已有AB=AC

故只需证B=C即可

而要证B=C

需证△ABG≌△ACD，这显然易证(SAS)。

五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形

例5. 如图5，已知△ABC中，BAC=90，AB=AC，BD是中线，AEBD于F，交BC于E。

求证：ADB=CDE

分析：由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等，故需作辅助线。注意到AEBD，BAC=90，有1=2，又AB=AC。故可以2为一内角，以AC为一直角边构造一个与△ABD全等的直角三角形，为此，过C作CGAC交AE的延长线于G，则△ABD≌△CAG，故ADB=CGA。

对照结论需证CGA=CDE

又要证△CGE≌△CDE，这可由

CG=AD=CD，ECG=EBA=ECD，CE=CE而获证。

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