[直角三角形内切圆的推广]我们知道利用面积法可以解决直角三角形内切圆半径的问题，在此基础上发现若有两个等圆内切于直角三角形中，也可按面积法求解，具体过程如下。 已知：在Rt⊿ABC中，⊙O1 ,⊙O2两等圆外...+阅读

在解某些数学问题时，若能根据题意构造出直角三角形，则可利用直角三角形的性质，巧妙地将题目解出。下面举例说明。

1、求线段长

[例1]在四边形ABCD中，A=60，B=90，D=90，AB=2，CD=1。求BC和AD的长。

解：延长AD、BC交于F，得Rt△ABF和Rt△CDF，且F=30。

在Rt△ABF中，由AB=2，F=30

得AF=2AB=4

同理可得CF=2，DF=BC=BF-CF=，AD=AF-DF=4-。

2、求角的度数

[例2]如图，在△ABC中，ABC=45，ACB=60，D在AC的延长线上，AB=CD。求CBD。

解：作AEBC于E，连DE，在Rt△ABE中

，BE=AE，在Rt△AEC中，所以。则AB=而AB=，故CE=CD 1=2=ACB=30

又EAC=30，所以DE=AE=BE

所以CBD=3=1=15

3、证线段倍分

[例3]如图，B=90，1=2=60，C=45，求证：CD+BD=AB。

证明：把△ABD绕AD翻转到△ABD的位置，则BD=BD，AB=AB，B=B=90o，2=3。

由1+2+3=180，知C、D、B三点共线，故△ABC为等腰直角三角形，从而有：CD+BD=AB，CD+BD=AB。

4、证不等

[例4]如图，在△ABC中，BCAC，AD、BE为高，

求证：BC+ADAC+BE。

证明：由题意，在BC上取一点A，使AC=AC，作ADAC于D，AFBE于F，则四边形EFAD为矩形，得AD=FE

又有Rt△ADC≌Rt△ADC，于是AD=AD

BA=BC-AC=BC-AC

BF=BE-FE=BE-AD=BE-AD

在Rt△ABF中，BABF，即BC-ACBE-AD

BC+ADAC+BE.

5、解三角问题

[例5]求cot22.5的值。

解：构造如图所示的Rt△ABC，则

cot22.5=

6、解代数问题

[例6]若a3，求证：。

证明：作出如图所示的Rt△ABC，由BD+ADAB，得

7、求最值

[例7]若m、n、p为正实数，且，求：的最小值。解：构造如图所示的直角三角形，易知CDAE，即故的最小值为[例8]求的最小值。

解：构造如图所示的Rt△PAC，Rt△PBD，使AC=1，BD=2，PC=x，CD=4，且PC、PD在直线L上，则所求最小值转化为在直线L上求一点P，使PA+PB的值最小，取A点关于L的对称点A，则有：

原式=PA+PBAB故的最小值是5。

构造直角三角形解题