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不好意思图片没能传上去，你可以点下面这个网址下载这个word文件自己看吧adamljw.blogbus.com/files/1165078499.doc 法向量在立体几何中的应用向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。下面就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。1 法向量的定义1.1 定义1 如果一个非零向量 与平面 垂直，则称向量 为平面 的法向量。1.2 定义2 任意一个三元一次方程： ， 都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中 为其一个法向量。 事实上，设点 是平面 上的一个定点， 是平面 的法向量，设点 是平面 上任一点，则总有 。∴ ， 故 ，即 ，∴ ，……①设 ， 则 ① 式可化为 ，即为点P的轨迹方程。从而，任意一个三元一次方程： ，都表示一个平面的方程，其法向量为 。2 法向量在立体几何中的应用2.1 利用法向量可处理线面角问题设 为直线 与平面 所成的角， 为直线 的方向向量 与平面 的法向量 之间的夹角，则有 （图1）或 （图2）图1 图2特别地 时， ， ； 时， ， 或 例1(2003年， 新课程 、江苏 、辽宁卷高考题)如图3，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱 ，D,E分别是 与 的中点，点E在平面ABD上的射影是 的重心G。求 与平面ABD所成角的大小。（结果用反三角函数表示）解 以C为坐标原点，CA所在直线为 轴，CB所在直线为轴， 所在直线为 轴，建立直角坐标系， 设 ， 图3则 ， ， ， ∴ ， ， ， ， ∵ 点E在平面ABD上的射影是 的重心G， ∴ 平面ABD， ∴ ，解得 。∴ ， ，∵ 平面ABD， ∴ 为平面ABD的一个法向量。由 得 ，∴ 与平面ABD所成的角为 ，即 。评析 因规定直线与平面所成角 ，两向量所成角 ，所以用此法向量求出的线面角应满足 。2.2 利用法向量可处理二面角问题设 分别为平面 的法向量，二面角 的大小为 ，向量 的夹角为 ，则有 （图4）或 （图5）图4 图5例2 (2003年，北京卷高考题)如图6，正三棱柱 的底面边长为3，侧棱 ，D是CB延长线上一点，且 。求二面角 的大小。（略去了该题的①，③问）解 取BC的中点O，连AO。由题意 平面 平面 ， ，∴ 平面 ，以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系， 图6则 ， ， ， ， ∴ ， ， ，由题意 平面ABD， ∴ 为平面ABD的法向量。设 平面 的法向量为 ，则 ， ∴ ， ∴ ，即 。 ∴ 不妨设 ，由 ，得 。 故所求二面角 的大小为 。评析
（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。
（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取 时，会算得 ，从而所求二面角为 ，但依题意只为 。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。例3(2002年，上海春季高考题)如图7，三棱柱 ，平面 平面 ，， ，且 ，求二面角 的大小。（略去了该题的②问） 图7解 以O点为原点，分别以OA,OB所在直线为 轴， 轴，过O点且与平面AOB垂直的直线为 轴，建立直角坐标系（如图7所示），则 ， ， ， ， ∵ 平面AOB， ∴ 不妨设平面AOB的法向量为 ， 设 平面 在此坐标系内的方程为： ， 由点A,B， 均在此平面内，得 解得 ， ， ，∴ 平面 的方程为： ，从而平面 的法向量为 ，∴ ， ∴ ，即 二面角 的大小为 ，评析 在求平面的法向量时，也可用此法先求得在空间直角坐标系中该平面的方程，从而直接得到其法向量。2.3 可利用法向量处理点面距离问题设 为平面 的法向量，A,B分别为平面 内，外的点，则点B到平面 的距离 （如图8）。 略证： 图8 例4 (2003年，全国高考题)如图9，已知正四棱柱 ，点E为 中点，点F为 中点。求点 到平面BDE的距离。（略去了该题的①问）解 以D为原点，建立如图9所示的直角坐标系，则 ， ， ， ，∴ ， ， ，设 平面BDE的法向量为 ，则 ， ， 图9 ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ 不妨设 ，则点 到平面BDE的距离为， 即为所求。例5 (2003年，北京春季高考题)如图10，正四棱柱 中，底面边长为 ，侧棱长为4,E,F分别为棱AB,CD的中点， 。求三棱锥 的体积V。（略去了该题的①②问）解 以D为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，则 ， ，， ，∴ ， ，， 图10∴ ，∴ ，所以 ，设 平面 的方程为： ，将点 代入得， ∴ ，∴ 平面 的方程为： ，其法向量为， ∴点 到平面 的距离 ，∴ 即为所求。评析
（1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式 计算得到。
（2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。法向量作为向量家族中的一个特殊成员，在...
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