[数学二次函数总结]二次函数的图象与性质 二次函数 开口方向 对称轴 顶点 增减性 最大（小）值 y = ax2 a>0时，开口向上；a<0抛时，开口向下。 x=0 (0,0) 当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴...+阅读
一、 师：什么是反函数呢？让我们一起来思考这样一个问题：在函数 中，如果当作因变量，把y当作自变量，能否构成一个函数呢？生：可以构成一个函数.师：为什么是个函数呢？生：在y允许取值范围内的任一值，按照法则 → 都有唯一的x与之相应.师；根据这位同学的表述，这是符合函数定义的，也就是说，按照上述原则，函数 是存在反函数的.这个反函数的解析式是怎样的呢？生：应该是. 师：这种表示方法是没有问题的，但不符合我们的习惯，按习惯用字母x表示自变量，用字母y表示因变量，故这个函数的解析式又可以写成 这样改动之后，带来这样一个问题，即 和 是不是同一函数呢？生：是.师：能具体解释一下吗？生：从函数三要素的角度看， 和 具有相同的定义域和值域，皆为R，同时对应法则都是自变量减1除以2得因变量，也是相同的，所以它们是相同的函数.师：既然是相同的，我们就把 称作函数 的反函数，同样，函数y=x-1 2有没有反函呢？生：有.就是 .师：对.也就是说函数 与函数 是互为反函数的.那么，是不是所有函数都会有反函数呢？生：不是所有函数都有反函数.师：能举个例子说明吗？生：如函数 ，将y当作自变量，x当作因变量，在y允许取值范围内，一个y可能对应两个x，如y=1则x=±1，因此不能构成函数，说明它没反函数.师：说得非常好.如果从形的角度来解释，会看得更清楚，见图1，从图中可看出给出一个y能对应两个x.缺图1通过对几个具体函数的研究，了解了什么是反函数，把前面对函数y=2x+1的反函数的研究过程一般化，概括起来就可以得到反函数的定义.由于这个定义比较长，所以我们一起阅读书上相关内容.（板书：
（1）反函数的定义）（要求学生打开书第60页第二自然段，请一名同学朗读这一段内容.）为帮助学生理解定义中的描述，教师可以再以一上具体函数为例解释y=f(x)和x=j(y)之间的关系，同时应指出定义中＂如果＂二字的含义表示不是所有函数都有反函数.） 对于反函数有了初步的了解之后，下面进一步对这个特殊的函数概念作点深入研究.（板书：
（2）对概念的理解.）师：反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言的，那么它们之间有什么关呢？不妨以刚才的两个函数y=2x+1和 为例加以研究.生：对应法则不同.师：能否说得再具体点，怎么不同？生：这两个函数的对应法则中，x与y的位置换位.（研究两函数间的关系应从函数三要素角度入手研究，老师可适当引导学生向三要素靠拢.）师：还有什么联系吗？生：当 的定义域和值域分别是y=2x+1的值域和定义域.师：根据刚才我们的讨论，可以发现反函数的三要素是由原来函数决定的，当给出的函数确定下来后，其反函数的三要素也就确定下来了，可以简记为“三定”.把这种确定关系具体化，也就是反函数的“反”字体现在什么地方呢？生：反函数的定义域就是原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域；反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中x与y的位置互换.师：由此我们可以看到反函数的“反”实际体现为“三反”.在这“三反”中，起决定作用的就是x与y的反置，正是由于它们位置的改变，才把相应取值反置，从而引起另外两“反”.（板书：a.“三定”，b.“三反”）师：从函数概念的角度来看，我们明确了原来函数与其反函数间的关系，当然还可以从其它方面入手进行研究，如：一个函数有没有反函数？若有反函数，它的性质如何？与原来函数的性质有什么关系？通过前面几个例子可以发现，上述问题中，原来函数的性质起着决定性作用，而且反函数的性质也与原来函数的性质相关.由于函数和反函数有如此密切的关系，它已成为进一步研究函数的重要方面 .当我们研究某个函数性质时，如果这个函数有反函数，就可以在两者中择其简而研究之，这就增加了函数的研究方法.师：对反函数概念作了较全面认识之后，自然提出这样一个问题：如果一个函数存在反函数，如何去求这个函数的反函数呢？一起看这样二个题目.例1 求 的反函数.生：（板书）解 由 ， 得 所以，所求反函数为 （在表述上不规范之处，先暂时不追究，待例2解完之后再一起讲评.）例2 求 的反函数.生：（板书）解 由y= 得 又 所以 故.师：下面请同学对两个例题的表述作个评价.生：例2所求的反函数是错误的，应为 （x≥2）师：这和黑板上所得的函数有什么不同吗？生：两个函数的定义域分别是x≥1和x≥2，所以是不同的两个函数.师：为什么是 （x≥2）呢？生：因为反函数的定义域应是原来给出函数f(x)的值域，而f(x)的值域应为y≥2，故所求反函数应为 （x≥2）.师：说得很好.根据我们对反函数的认识，反函数的定义域就是原来给出函数的值域.所以，要求出反函数的定义域，就必须先求出原来函数的值域.那么例2的求解过程应当怎样调整呢？生：由 得 ，又x≥1，所以 .因为 的值域为 ，所以 （x≥2）.师：通过刚才的讨论，我们发现并解决了例2反函数的存在问题，同时也注意到求反函数必须明确指出其定义域，以保证结论的正确性.除此之外，还有什么问题吗？生：为什么没有在例1中求原来所给函数的值域呢？师：请同学们针对这个问题讨论一下.生：因为原来所给的函数的值域是y≠0，这...
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