数学数列解题方法 - 范文无忧网

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公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。类型一归纳—猜想—证明由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明. 类型二 “逐差法”和“积商法”

（1）当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3，…，n-1，得n-1个式子： a2-a1=f

(1),a3-a2=f

(2)，…，an-an-1=f(n-1)，且f

(1)+f

(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”.

（2）当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3，…，n-1，得n-1个式子，即 a2/a1=f

(1),a3/a2=f

(2),a4/a3=f

(3)，…，an/an-1=f(n-1)，且f

(1)f

(2)f

(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”. 类型三构造法递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解. 类型四可转化为类型三求通项

（1）“对数法”转化为类型三. 递推式为an+1=qanجk(q>0,k≠0且k≠1,a1>0)，两边取常用对数，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为类型三.

（2）“倒数法”转化为类型三. 递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0,pq≠0,pc≠qb). 若b=0，得an+1=pan/(qan+c).因为an≠0，所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan，令bn=1/an，则bn+1=(c/p)bn+q/p，转化为类型三. 若b≠0，设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，转化为b=0的情况. 类型五递推式为an+1/an=qn/n+k(q≠0,k∈N) 可先将等式（n+k）an+1=qnan两边同乘以（n+k-1）(n+k-2)…（n+1），得（n+k）(n+k-1)(n+k-2)…（n+1）an+1=q(n+k-1)(n+k-2)…（n+1）nan，令bn=(n+k-1)(n+k-2)…（n+1）•nan，则bn+1=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…（n+1）an+1. 从而bn+1=qbn，因此数列{bn}是公比为q，首项为b1=k(k-1)(k-2)…2•1•a1=k!a1的等比数列，进而可求得an. 总之，由数列的递推公式求通项公式的问题比较复杂，不可能一一论及，但只要我们抓住递推数列的递推关系，分析结构特征，善于合理变形，就能找到解决问题的有效途径.